Công thức vật lý 12 chương 6: lượng tử ánh sáng, bài 4: mẫu nguyên tử bohr - quang phổ nguyên tử hidro

$r=n^2{r}_0$

Phát biểu: 

- Nguyên tử chỉ tồn tại trong một số trạng thái có năng lượng xác định, gọi là các trạng thái dừng. Khi ở trong các trạng thái dừng thì nguyên tử không bức xạ.

- Trong các trạng thái dừng của nguyên tử, electron chỉ chuyển động quanh hạt nhân trên những quỹ đạo có bán kính hoàn toàn xác định gọi là các quỹ đạo dừng.

Chú thích:

$r$: bán kính quỹ đạo đang xét $\left(m\right)$

$n$: thứ tự bán kính các quỹ đạo 

$r_0=5,3.{10}^{-11}m$: bán kính Bo

Quy ước: 

Chú ý:

- Bình thường, nguyên tử ở trạng thái dừng có năng lượng thấp nhất và electron chuyển động trên quỹ đạo gần hạt nhân nhất. Đó là trạng thái cơ bản K.

- Khi hấp thụ năng lượng, nguyên tử chuyển lên các trạng thái dừng có năng lượng cao hơn và electron chuyển động treen những quỹ đạo xa hạt nhân hơn. Đó là các trạng thái kích thích.

- Các trạng thái kích thích có năng lượng càng cao thì ứng với bán kính quỹ đạo của electron càng lớn và trạng thái đó càng kém bền vững.

- Thời gian sống trung bình của nguyên tử trong các trạng thái kích thích rất ngắn (chỉ vào cỡ ${10}^{-8}s$).

$E_n=-\frac{13,6}{n^2}$

Phát biểu: Ứng với mỗi trạng thái dừng, electron có mức năng lượng xác định.

Chú thích: 

$E_n$: năng lượng của electron ở trạng thái dừng $n$ $\left(eV\right)$

$n=1,2,3...$

Đổi đơn vị:

$1ev=1,6.{10}^{-19 }J$

$F_{ht}=F_{điện}\Rightarrow \frac{m{v_n}^2}{r_n}=\frac{k{e}^2}{r^2}$

$\Rightarrow v_n=e\sqrt{\frac{k}{r_{n}m}}$

Phát biểu: Khi electron chuyển động trên quỹ đạo $n$, lực hút tĩnh điện đóng vai trò là lực hướng tâm.

Chú thích:

$m=m_e=9,1.{10}^{-31}kg$

$v_n$: vận tốc của $e$ ở trạng thái dừng $n$ $(m/s)$

$r_n$: bán kính quỹ đạo dừng $\left(m\right)$

$k=9.{10}^{9}N{m}^2/C^2$

$e=-1,6.{10}^{-19 }C$

$v_n=\sqrt{-\frac{2E_n}{m}}$

Chú thích:

$m=m_e=9,1.{10}^{-31}kg$

$v_n$: vận tốc của $e$ ở trạng thái dừng $n$ $(m/s)$

$E_n$: năng lượng của electron ở trạng thái dừng $n \left(J\right)$

$f_{31}=f_{32}+f_{21}$

$\frac{1}{{\lambda }_{31}}=\frac{1}{{\lambda }_{32}}+\frac{1}{{\lambda }_{21}}$

${\lambda }_{nm}=\frac{hc}{E_0\left({\displaystyle \frac{1}{n^2}}-{\displaystyle \frac{1}{m^2}}\right)}$

Chú thích:

${\lambda }_{nm}$: bước sóng phát ra khi nguyên tử chuyển mức năng lượng từ n->m $\left(m\right)$

$h$: hằng số Planck với $h=6,625.{10}^{-34}J.s$

$E_0=13,6eV=13,6.1,6.{10}^{-19}J$

$\epsilon =hf=E_{cao}-E_{thấp}$

Phát biểu:

- Khi electron chuyển từ trạng thái dừng có mức năng lượng cao $\left(E_{cao}\right)$ xuống mức năng lượng thấp hơn $\left(E_{thấp}\right)$ thì nó phát ra một photon có năng lượng đúng bằng: $hf=E_{cao}-E_{thấp}$.

- Khi electron chuyển từ trạng thái dừng có mức năng lượng thấp $\left(E_{thấp}\right)$ lên mức năng lượng cao hơn $\left(E_{cao}\right)$ thì nó hấp thụ một photon có năng lượng đúng bằng: $hf=E_{cao}-E_{thấp}.$

$\Rightarrow$Một chất hấp thụ được ánh sáng có bước sóng nào thì cũng có thể phát ra ánh sáng có bước sóng đó. 

Lưu ý:

+ Bước sóng dài nhất ${\lambda }_{NM}$ khi $e$ chuyển từ $N\to M$.

+ Bước sóng ngắn nhất ${\lambda }_{\infty M}$ khi e chuyển từ $\infty \to M$.

$\epsilon =E_{cao }- E_{thấp}$

Phát biểu:

- Bình thường electron chỉ chuyển động trên quỹ đạo K (trạng thái cơ bản).

- Khi bị kích thích, electron nhảy lên quỹ đạo có năng lượng lớn hơn L, M, N,...

- Thong thường, người ta coi như vùng trong ánh sáng thấy được của nguyên tử Hidro có 4 vạch quang phổ là đỏ, lam, chàm, tím.

Quang phổ vạch phát xạ của Hidro nằm trong 3 dãy:

+ Dãy Laiman: $e$ chuyển từ trạng thái kích thích $\to$ quỹ đạo K (vùng tử ngoại).

+ Dãy Banme: $e$ chuyển từ trạng thái kích thích $\to$ quỹ đạo L (vùng ánh sáng nhìn thấy và một số vạch thuộc vùng tử ngoại).

+ Dãy Pasen: $e$ chuyển từ trạng thái kích thích $\to$quỹ đạo M (vùng hồng ngoại).

Các electron chuyển động với các quỹ đạo xác định gọi là quỹ đạo dừng.

$r_n=n^2{r}_0 ;r_0=0,53 \left(A°\right)$

Tiên đề 1: Các electron chuyển động với các quỹ đạo xác định gọi là quỹ đạo dừng.

Công thức tính bán kính quỹ đạo dừng thứ n

$r_n=n^2{r}_0 ;r_0=0,53 \left(A°\right)$

Ngoài ra ta còn gọi quỹ đạo dừng theo chữ cái :K,L,M,NO,P theo thứ tự từ bán kính nhỏ đến lớn

Ví dụ : bán kính quỹ đạo dừng thứ 1 : $r_1=r_0=0,53 \left(A°\right)$

bán kính quỹ đạo dừng thứ 2 : $r_1=4r_0=2,12 \left(A°\right)$

$v_n=\frac{e}{n}\sqrt{\frac{k}{m_e{r}_0}}$

Lực điện đóng vai trò lực hướng tâm :

$$\begin{gathered} F_{đ}=F_{ht} \\ \iff \frac{k{e}^2}{r^2}=\frac{m{v}^2}{r} \\ \Rightarrow v_n=\frac{e}{n}\sqrt{\frac{k}{m_e{r}_0}} \end{gathered}$$

Với n là bậc của quỹ đạo

 $k=9.{10}^9 \left(\frac{N}{C^2{m}^2}\right)$

e: Điện tích của electron

$m_e$:Khối lượng của electron

$r_0=0,53 \left(A°\right)$

${\omega }_n=\frac{e}{n^3}\sqrt{\frac{k}{{r_0}^3{m}_e}}$

Ta có lực hướng tâm là lực điện

$$\begin{gathered} F_{đ}=F_{ht}\iff \frac{k{e}^2}{{r_n}^2}=m{{\omega }_n}^2{r}_n \\ \Rightarrow {\omega }_n=\frac{e}{n^3}\sqrt{\frac{k}{{r_0}^3{m}_e}} \end{gathered}$$

$I_n=\frac{e^2}{2\pi n^3}\sqrt{\frac{k}{{r_0}^3{m}_e}}$

Cường độ dòng điện

$$\begin{gathered} I=\frac{e}{t}=\frac{e\omega }{2\pi } \\ \Rightarrow I_n=\frac{e^2}{2\pi n^3}\sqrt{\frac{k}{{r_0}^3{m}_e}} \end{gathered}$$

$\frac{v_1}{v_2}=\frac{n_2}{n_1}=\sqrt{\frac{r_2}{r_1}}=\sqrt{\frac{W_{đ1}}{W_{đ2}}}$

Với $v_1$ là vận tốc của e khi nó ở quỹ đạo  ; $n_1$ là bậc tương ứng ; $r_1$ bán kính quỹ đạo dừng ta đang cần xét

Với $v_2$ là vận tốc của e khi nó ở quỹ đạo  ; $n_2$ là bậc tương ứng ; $r_2$ bán kính quỹ đạo dừng ta đang cần xét

$\frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}=\frac{{n_2}^3}{{n_1}^3}=\sqrt{{\left(\frac{r_2}{r_1}\right)}^3}={\left(\frac{v_1}{v_2}\right)}^3$

Với ${\omega }_1$ là vận tốc góc của e khi nó ở quỹ đạo  ; $n_1$ là bậc tương ứng ; $r_1$ bán kính quỹ đạo dừng ta đang cần xét

Với ${\omega }_2$ là vận tốc góc của e khi nó ở quỹ đạo  ; $n_2$ là bậc tương ứng ; $r_2$ bán kính quỹ đạo dừng ta đang cần xét

$$\begin{gathered} \frac{1}{{\lambda }_{mn}}=\frac{1}{{\lambda }_{mk}}+\frac{1}{{\lambda }_{kn}} ;\left(n<k<m\right) \\ \frac{1}{{\lambda }_{mn}}=\frac{1}{{\lambda }_{mk}}-\frac{1}{{\lambda }_{nk}};\left(k<n<m\right) \end{gathered}$$

Với k , m ,n là bậc của quỹ đạo dừng

${\lambda }_{mn}$ : Bước sóng phát ra khi chuyển từ m sang n

${\lambda }_{mk}$: Bước sóng phát ra khi chuyển từ m sang k

${\lambda }_{kn}$:Bước sóng phát ra khi chuyển từ k sang n

$$\begin{gathered} f_{mn}=f_{mk}+f_{kn} ;\left(n<k<m\right) \\ {f}_{mn}=f_{mk}-f_{nk};\left(k<n<m\right) \end{gathered}$$

Với k , m ,n là bậc của quỹ đạo dừng

$f_{mn}$ : Tần số sóng phát ra khi chuyển từ m sang n

$f_{mk}$: Tần số sóng phát ra khi chuyển từ m sang k

$f_{kn}$:Tần số sóng phát ra khi chuyển từ k sang n

$$\begin{gathered} r_m-r_n=a{r}_0 \\ \Rightarrow m=\sqrt{a^2+n^2}\in N \end{gathered}$$

Dùng máy tính : Xét : $f\left(x\right)=\sqrt{a^2+x^2}$

Cho x chạy từ 1 đến 15 tìm các giá trị nguyên

$n=\sqrt{\frac{r_n}{r_0}}$

n là bậc của quỹ đao dừng

$r_n$ bán kính quỹ đạo dừng thứ n

$N=\frac{n\left(n-1\right)}{2}$

N: số bức xạ

n: bậc của quỹ đạo dừng

Trạng thái khích thứ n $\iff$quỹ đạo dừng thứ n-1

Trạng thái cơ bản : n=1 chỉ có thể hấp thụ photon

Trạng thái khích thứ 1:n=2 có thể hấp thụ và phát xạ

$\epsilon =∆E=E_m-E_n=-13,6\left(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\right) \left(eV\right)$

Với : $\epsilon$ Năng lượng cần cung cấp

$E_m;E_n$ Mức năng lượng của e ở múc m và n

$$\begin{gathered} {\lambda }_{\infty m}=\frac{hc}{E_{\infty }-E_m}=\frac{hc.m^2}{13,6e}:phát ra \\ {\lambda }_{m\infty }=\frac{hc}{E_m-E_{\infty }}=\frac{hc.m^2}{13,6e}hấp thụ \end{gathered}$$

$E_{\infty }$: năng lượng của e ở mức vô cùng bằng 0

$E_m$:năng lượng của e ở mức m

${\lambda }_{\infty m}$bước sóng ứng với mức vô cùng về m

${\lambda }_{m\infty }$bước sóng ứng với m ra mức vô cùng 

$n=\frac{1+\sqrt{8N+1}}{2}$

Số bức xạ có thể phát : $N=\frac{n\left(n-1\right)}{2}$

Số bức xạ chuyển trực tiếp về 1: $N=n-1$

Động năng ban đầu để sau khi lên e có thể phát ra N bức xạ:

$-13,6e\left(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\right)\le W_{đ}<-13,6e\left(\frac{1}{{\left(m+1\right)}^2}-\frac{1}{n^2}\right);m=\frac{1+\sqrt{8N+1}}{2}$

 

Động năng ban đầu để sau khi lên e có thể phát ra N bức xạ:

Số bức xạ mà e có thể phát ra khi ở quỹ đạo m:

$$\begin{gathered} N=\frac{m\left(m-1\right)}{2}\Rightarrow m^2-m-2N=0\Rightarrow {\left(m-\frac{1}{2}\right)}^2=2N+\frac{1}{4} \\ \Rightarrow m=\frac{1+\sqrt{8N+1}}{2} \end{gathered}$$

Động năng tối thiểu:

$W_{đ}min=\left(E_m-E_n\right)=-13,6e\left(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\right)$

Động năng tối đa:

$W_{đ}max=\left(E_{m+1}-E_n\right)=-13,6e\left(\frac{1}{{\left(m+1\right)}^2}-\frac{1}{n^2}\right)$

$W_{đ}\text{'}=W_{đ}-\left(E_m-E_n\right)$

Với $W_{đ}$ là động năng ban đầu

$W_{đ}\text{'}$ là động năng còn lại

m>n $E_m,E_n$ là năng lượng ở mức quỹ đạo m ,n

$∆E=E_{\infty }-E_1=\frac{hc}{{\lambda }_{\infty 1}}$

Năng lượng ion hóa nguyên tử Hiro năng lượng  mà ta cần cung cấp để e chuyển từ mức trạng thái cơ bản ra vô cùng

$m=\frac{1}{\sqrt{{\displaystyle \frac{∆E}{-13,6e}+\frac{1}{n^2}}}}$

Nếu $m không \in N$ thì e không lên được

Nếu $m \in N$ thì e lên được quỹ đạo m

 

Ban đầu hạt ở quỹ đạo dừng n :

Điều kiện để e lên quỹ đạo m: 

$$\begin{gathered} ∆E=E_m-E_n=-13,6\left(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\right) eV \\ \Rightarrow m=\frac{1}{\sqrt{{\displaystyle \frac{∆E}{-13,6e}}+{\displaystyle \frac{1}{n^2}}}}\in N \end{gathered}$$

Lấy bảng giá trị n: $1\to \infty$

Nếu $m không \in N$ thì e không lên được

Nếu $m \in N$ thì e lên được quỹ đạo m

$$\begin{gathered} f_{m1}=\frac{E_m-E_1}{h}=\frac{-13,6e\left(\frac{1}{m^2}-1\right)}{h} \left(Hz\right) \\ {\lambda }_{m1}=\frac{hc}{E_m-E_1}=\frac{hc}{-13,6e\left({\displaystyle \frac{1}{m^2}-1}\right)} \left(m\right) \end{gathered}$$

Ban đầu e ở quỹ đạo m:

$$\begin{gathered} f_{max}=f_{m1}=\frac{c}{{\lambda }_{m1}}=\frac{E_m-E_1}{h}=\frac{-13,6e\left(\frac{1}{m^2}-1\right)}{h} \left(Hz\right) \\ {\lambda }_{min}={\lambda }_{m1}=\frac{hc}{E_m-E_1}=\frac{hc}{-13,6e\left({\displaystyle \frac{1}{m^2}}-1\right)} \left(m\right) \end{gathered}$$

$f_{m1}$ tần số mà e phát ra khi chuyển từ quỹ đạo m về 1

${\lambda }_{m1}$ bước sóng mà e phát ra khi chuyển từ quỹ đạo m về 1

$f_{chiếu}=f_1+f_2$

$f_{chiếu}=f_1+f_2$ Với $f_{chiếu}>f_2>f_1$

${\lambda }_{mn}=\frac{hc}{E_m-E_n}=\frac{hc}{-13,6e\left({\displaystyle \frac{1}{m^2}}-{\displaystyle \frac{1}{n^2}}\right)}$ $\left(m\right)$

Mỗi electron trên quỹ đạo xác định thì sẽ có năng lượng xác định khi nó chuyển vạch sẽ hấp thụ hoặc bức xạ photon có năng lượng bằng độ biến thiên năng lượng giữa hai vạch.

Với ${\lambda }_{mn}$ bước sóng mà e phát ra khi đi từ m sang n

$E_m;E_n$ năng lượng mà e có ở mức m,n